Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A在y軸正半軸上，點Pn在x軸上，其橫坐標為xn ， 且{xn} 是首項為1、公比為2的等比數列，記∠PnAPn+1=θn ， n∈N* ．

（1）若 ，求點A的坐標；
（2）若點A的坐標為（0，8 ），求θn的最大值及相應n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設A（0，t）（t＞0），根據題意，xn=2n﹣1．

由 ，知 ，

而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）= = ，

所以 ，解得t=4或t=8．

故點A的坐標為（0，4）或（0，8）．

（2）解：由題意，點Pn的坐標為（2n﹣1，0），tan∠OAPn= ．

∴tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn）= = ．

因為 ≥ ，所以tanθn≤ = ，

當且僅當 ，即n=4時等號成立．

∵0＜θn＜ ，y=tanx在（0， ）上為增函數，

∴當n=4時，θn最大，其最大值為 ．

【解析】（1）利用{xn} 是首項為1、公比為2的等比數列，確定通項，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐標；（2）表示出tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn），利用基本不等式，結合正切函數的單調性，即可求得結論．
【考點精析】關于本題考查的基本不等式和兩角和與差的正切公式，需要了解基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：；兩角和與差的正切公式：才能得出正確答案．