Question

【題目】已知函數 ， ( 為自然對數的底數).
（1）設曲線 在 處的切線為 ，若 與點 的距離為 ，求 的值；
（2）若對于任意實數 ， 恒成立，試確定 的取值范圍；
（3）當 時，函數 在 上是否存在極值？若存在，請求出極值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解： , .

在 處的切線斜率為 ，

∴切線 的方程為 ，即 .

又切線 與點 距離為 ,所以 ，

解之得， 或

（2）解：∵對于任意實數 恒成立，

∴若 ，則 為任意實數時， 恒成立；

若 恒成立，即 ，在 上恒成立，

設 則 ,

當 時， ，則 在 上單調遞增；

當 時， ，則 在 上單調遞減；

所以當 時， 取得最大值， ，

所以 的取值范圍為 .

綜上，對于任意實數 恒成立的實數 的取值范圍為

（3）解：依題意, ，

所以 ,

設 ,則 ,當 ,

故 在 上單調增函數,因此 在 上的最小值為 ，

即 ，

又 所以在 上， ，

即 在 上不存在極值

【解析】（1）利用導數的幾何意義，求出切線方程，再利用點到直線距離公式代入求解.
（2）恒成立問題進行分離變量轉化為函數的最值問題，由于x ≥ 0 ,不等式兩邊同除以x時注意對x的分類討論.
（3）利用導數判斷出函數在區間 [ 1 , e ]上的單調性，借助單調性的判斷函數有無極值.
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)．