Question

【題目】已知f(x)＝lnx－x＋a＋1.

(1)若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求a的取值范圍；

(2)求證：在(1)的條件下，當x>1時， x2＋ax－a>xlnx＋成立．

Answer 1

【答案】(1) [0，＋∞)．(2)見解析.

【解析】試題分析(1) 原題即為存在x>0，使得a≥－lnx＋x－1,即該不等式有解，求函數g(x)＝－lnx＋x－1的單調性和最小值即可；（2）原不等式轉化為G(x)＝x2＋ax－xlnx－a－>0，研究這個函數的單調性，求得這個函數的最值大于等于0即可.

解析：

(1)解：原題即為存在x>0，

使得lnx－x＋a＋1≥0，

∴a≥－lnx＋x－1，

令g(x)＝－lnx＋x－1，

則g′(x)＝－＋1＝.

令g′(x)＝0，解得x＝1.

∵當0<x<1時，g′(x)<0，g(x)為減函數，

當x>1時，g′(x)>0，g(x)為增函數，

∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0.

故a的取值范圍是[0，＋∞)．

(2)證明　原不等式可化為x2＋ax－xlnx－a－>0(x>1，a≥0)．

令G(x)＝x2＋ax－xlnx－a－，則G(1)＝0.

由(1)可知x－lnx－1>0，

則G′(x)＝x＋a－lnx－1≥x－lnx－1>0，

∴G(x)在(1，＋∞)上單調遞增，

∴G(x)>G(1)＝0成立，

∴x2＋ax－xlnx－a－>0成立，

即x2＋ax－a>xlnx＋成立．