【題目】如圖，在四棱錐
中，底面ABCD為梯形，AB//CD，
，AB=AD=2CD=2，△ADP為等邊三角形．
(1)當PB長為多少時，平面
平面ABCD?并說明理由；
(2)若二面角
大小為150°，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）當
時，平面
平面
，詳見解析（2）
【解析】
(1)根據平面和平面垂直可得線面垂直，從而可得
,利用直角三角形知識可得
的長；
(2)構建空間直角坐標系，利用法向量求解直線AB與平面PBC所成角的正弦值.
解：（1）當時，平面平面，
證明如下：在
中，因為
，所以，
又
，
，所以
平面
，
又
平面，所以平面平面；
（2）分別取線段
的中點
，連接
，因為
為等邊三角形，
為
的中點，所以
，
為的中點，所以
,
又，所以
，故
為二面角
的平面角，所以
，
如圖，分別以
的方向以及垂直于平面向上的方向作為
軸的正方向，建立空間直角坐標系
，
因為
，，所以
，
，
，
.
可得
，
，
設
為平面
的一個法向量，則有
，
即
，令
，
可得
，
設
與平面
所成角為
，則有
所以直線與平面所成角的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】手機支付也稱為移動支付，是指允許用戶使用其移動終端（通常是手機）對所消費的商品或服務進行賬務支付的一種服務方式．隨著信息技術的發展，手機支付越來越成為人們喜歡的支付方式．某機構對某地區年齡在15到75歲的人群“是否使用手機支付”的情況進行了調查，隨機抽取了100人，其年齡頻率分布表和使用手機支付的人數如下所示：（年齡單位：歲）
年齡段 | [15，25） | [25，35） | [35，45） | [45，55） | [55，65） | [65，75] |
頻率 | 0.1 | 0.32 | 0.28 | 0.22 | 0.05 | 0.03 |
使用人數 | 8 | 28 | 24 | 12 | 2 | 1 |
（1）若以45歲為分界點，根據以上統計數據填寫下面的2×2列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“使用手機支付”與年齡有關？
年齡低于45歲 | 年齡不低于45歲 | |
使用手機支付 | ||
不使用手機支付 |
（2）若從年齡在[55，65），[65，75]的樣本中各隨機選取2人進行座談，記選中的4人中“使用手機支付”的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望．
參考數據：
P（K2≥k0） | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．
（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；
（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》是我國古代數學經典名著，其中有這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何？”其意為：今有－圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該木材，鋸口深一寸，鋸道長－尺.問這塊圓柱形木材的直徑是多少？現有長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示（陰影部分為鑲嵌在墻體內的部分）.已知弦
尺，弓形高
寸，估算該木材鑲嵌在墻體中的體積約為__________立方寸.（結果保留整數）
注：l丈＝10尺＝100寸，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年是中國成立70周年，也是全面建成小康社會的關鍵之年.為了迎祖國70周年生日，全民齊心奮力建設小康社會，某校特舉辦“喜迎國慶，共建小康”知識競賽活動.下面的莖葉圖是參賽兩組選手答題得分情況，則下列說法正確的是（ ）
A.甲組選手得分的平均數小于乙組選手的平均數B.甲組選手得分的中位數大于乙組選手的中位數
C.甲組選手得分的中位數等于乙組選手的中位數D.甲組選手得分的方差大于乙組選手的的方差
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(2017·江蘇高考)如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求證：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
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