Question

【題目】已知函數.

（1）設.

①求方程=2的根；

②若對任意，不等式恒成立，求實數m的最大值；

（2）若，函數有且只有1個零點，求ab的值.

Answer 1

【答案】（1）①0 ②4 （2）1

【解析】

（1）①根據指數間倒數關系轉化為一元二次方程，求方程根；②根據指數間平方關系，將不等式轉化為一元不等式，再利用變量分離轉化為對應函數最值，最后根據基本不等式求最值；（2）根據導函數零點情況，確定函數單調變化趨勢，結合圖象確定唯一零點必在極值點取得，從而建立等量關系，求出ab的值.

（1）因為，所以.

①方程，即，亦即，

所以，于是，解得.

②由條件知.

因為對于恒成立，且，

所以對于恒成立.

而，且，

所以，故實數的最大值為4.

（2）因為函數只有1個零點，而，

所以0是函數的唯一零點.

因為，又由知，

所以有唯一解.

令，則，

從而對任意，，所以是上的單調增函數，

于是當，；當時，.

因而函數在上是單調減函數，在上是單調增函數.

下證.

若，則，于是，

又，且函數在以和為端點的閉區間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點，記為. 因為，所以，又，所以與“0是函數的唯一零點”矛盾.

若，同理可得，在和之間存在的非0的零點，矛盾.

因此，.

于是，故，所以.