Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，若過點F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點，且|MN|＝8.

(Ⅰ)求拋物線C的方程；

(Ⅱ)設直線l為拋物線C的切線，且l∥MN，P為l上一點，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x.（2）－14

【解析】試題分析：（1）由拋物線定義得|MN|＝x1＋x2＋p＝8，再聯立直線方程與拋物線方程利用韋達定理得x1＋x2＝3p.代入可得p＝2（2）先根據判別式求出切線方程，再根據向量數量積坐標表示得 (x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]，利用直線方程y＝x＋1，化簡得x1＋x2，x1x2關系式，最后聯立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理代入化簡得2[(m－2)2－7]≥－14

試題解析：解：(Ⅰ)由題可知F(，0)，則該直線方程為y＝x－，代入y2＝2px(p＞0)，

得x2－3px＋＝0.設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1＋x2＝3p.

∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8，解得p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x.

(Ⅱ)設直線l的方程為y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.

∵l為拋物線C的切線，∴Δ＝0，解得b＝1.∴l的方程為y＝x＋1.

設P(m，m＋1)，則＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))，

∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]

＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.

由(Ⅰ)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.

∵y－y＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝4＝4，

∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2

＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，

當且僅當m＝2，即點P的坐標為(2，3)時，·的最小值為－14