Question

【題目】對于定義在上的函數，若函數滿足：①在區間上單調遞減；②存在常數p，使其值域為，則稱函數為的“漸近函數”；

（1）證明：函數是函數的漸近函數，并求此時實數p的值；

（2）若函數，證明：當時，不是的漸近函數.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）證明見解析；

【解析】

（1）通過令，利用“漸近函數”的定義逐條驗證即可；（2）通過記，結合“漸近函數”的定義可知，問題轉化為求時，的最大值問題，進而計算可得的范圍，從而證明結論.

（1）根據題意，令，

則，

所以，

所以在區間上單調遞減，且，

所以，

于是函數是函數，的漸近函數，

此時實數.

（2）即，

，

假設函數，的漸近函數是，

則當時，，即，

令函數，，

則，

當時，，

當時，，在區間上單調遞增，

且

所以，

所以，

所以當時，不是的漸近函數.