Question

【題目】設數列{an}的前項n和為Sn ， 若對于任意的正整數n都有Sn=2an﹣3n．
（1）設bn=an+3，求證：數列{bn}是等比數列，并求出{an}的通項公式．
（2）求數列{nan}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知Sn=2an﹣3n．n=1時，a1=2a1﹣3，解得a1=3．

n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣3n﹣[2an﹣1﹣3（n﹣1）]．

∴an+1=2an+3，變形為an+1+3=2（an+3），即bn+1=3bn．

∴數列{bn}是等比數列，首項為6，公比為2．

∴bn=an+3=6×2n﹣1，解得an=3×2n﹣3

（2）解：nan=3n×2n﹣3n．

設數列{n2n}的前n項和為An=2+2×22+3×23+…+n2n，

2An=22+2×23+…+（n﹣1）2n+n2n+1，

∴﹣An=2+22+…+2n﹣n2n+1= ﹣n2n+1，

∴An=（n﹣1）2n+1+2．

∴數列{nan}的前n項和Tn=（3n﹣3）2n+1+6﹣

【解析】（1）利用遞推關系可得：an+1=2an+3，變形為an+1+3=2（an+3），即bn+1=3bn ． 即可證明．（2）利用“錯位相減法”、等差數列與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．