Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，A、B兩點的坐標分別為（0，1）、（0，﹣1），動點P滿足直線AP與直線BP的斜率之積為，直線AP、BP與直線y＝﹣2分別交于點M、N．

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）求線段MN的最小值；

（3）以MN為直徑的圓是否經過某定點？若經過定點，求出定點的坐標；若不經過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（x≠0）．（2）4．（3）是，定點（0，﹣2+2）或（0，﹣2﹣2）．

【解析】

(1)設動點,再根據斜率之積化簡方程即可.

(2)分別設關于的的方程,再聯立求解的坐標,進而求得關于的解析式,再利用化簡,利用基本不等式求解最小值即可.

(3)根據題意可知,再進行根據滿足橢圓的方程代入化簡求解即可.

（1）設動點P（x,y）,∵A（0,1）,B（0,﹣1）,

∴直線AP的斜率k1,直線BP的斜率,

又k1k2,∴,

∴動點P的軌跡方程為（x≠0）．

（2）設直線AP的方程為y﹣1＝k1（x﹣0）,

直線BP的方程為y+1＝k2（x﹣0）,

由,得,∴M（）,

由,得,∴N（,﹣2）,

由,得|MN|＝||＝||4,

當且僅當,即時,等號成立,

∴線段MN長的最小值為4．

（3）設點Q（x,y）是以MN為直徑的圓的任意一點,則,

即,

又k1k2,

∴以MN為直徑的圓的方程為,

令x＝0,得（y+2）2＝12,解得y＝﹣2,

∴以MN為直徑的圓過定點（0,﹣2+2）或（0,﹣2﹣2）．