Question

【題目】如圖，在平行六面體中，，，平面，與底面所成角為，．

（1）求證：平行六面體的體積，并求的取值范圍；

（2）若，求二面角所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）.

【解析】

（1）由平面，可得，然后用表示，可證明結論，利用的取值范圍，并結合三角函數的性質，可求得的取值范圍；

（2）證明直線兩兩垂直，然后分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，再利用向量法求出二面角的余弦值，進而可求出答案.

（1）∵，，平面，，

∴平行六面體的體積.

又，則，

∵，∴，.

∴求的取值范圍是.

（2）∵，∴，，∴直線兩兩垂直.

分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，，設平面的法向量為，

則，即，取，可得，

平面的一個法向量為，

設二面角所成角為，則，

所以二面角所成角的大小為.