Question

【題目】（1）求圓心在直線上，且與直線相切于點的圓的方程；

（2）求與圓外切于點且半徑為的圓的方程.

【答案】(1)；(2).

【解析】試題分析：

(1)由題意可得圓的一條直徑所在的直線方程為，據此可得圓心，半徑，則所求圓的方程為.

(2)圓的標準方程為，得該圓圓心為，半徑為，兩圓連心線斜率.設所求圓心為，結合弦長公式可得，.則圓的方程為.

試題解析：

（1）過點且與直線垂直的直線為，

由 .

即圓心，半徑，

所求圓的方程為.

（2）圓方程化為，得該圓圓心為，半徑為，故兩圓連心線斜率.設所求圓心為，

，∴，

，∴.

∴.

點睛：求圓的方程，主要有兩種方法：

(1)幾何法：具體過程中要用到初中有關圓的一些常用性質和定理．如：①圓心在過切點且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點與兩圓心三點共線．

(2)待定系數法：根據條件設出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關量．一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數，所以應該有三個獨立等式．

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】如圖所示，平面，點在以為直徑的上，，，點為線段的中點，點在弧上，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面平面；

（3）設二面角的大小為，求的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).

【解析】試題分析：

（1）由△ABC中位線的性質可得，則平面.由線面平行的判斷定理可得平面.結合面面平行的判斷定理可得平面.

（2）由圓的性質可得，由線面垂直的性質可得，據此可知平面.利用面面垂直的判斷定理可得平面平面.

（3）以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系.結合空間幾何關系計算可得平面的法向量，平面的一個法向量，則.由圖可知為銳角，故.

試題解析：

（1）證明：因為點為線段的中點，點為線段的中點，

所以，因為平面，平面，所以平面.

因為，且平面，平面，所以平面.

因為平面，平面，，

所以平面平面.

（2）證明：因為點在以為直徑的上，所以，即.

因為平面，平面，所以.

因為平面，平面，，所以平面.

因為平面，所以平面平面.

（3）解：如圖，以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標系.

因為，，所以，.

延長交于點.因為，

所以，，.

所以，，，.

所以，.

設平面的法向量.

因為，所以，即.

令，則，.

所以.

同理可求平面的一個法向量.

所以.由圖可知為銳角，所以.