Question

已知函數，．
(Ⅰ)求函數的單調遞增區間；
(Ⅱ)設點為函數的圖象上任意一點，若曲線在點處的切線的斜率恒大于，
求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ) .

試題分析：(Ⅰ)先求出函數的定義域為，再對函數求導得.對分， ，，四種情況進行討論，求得每種情況下使得的的取值范圍，求得的的取值集合即是函數的單調增區間；(Ⅱ)將代入函數的導數得，根據化簡整理構造新函數，將問題轉化為：的恒成立問題，分，，三種情況結合二次函數的單調性進行討論.
試題解析：(Ⅰ)依題意，的定義域為，
. 2分
①當時，
令，解得，所以函數在上是增函數；
②當時，
令，解得或，所以函數在和上是增函數；
③當時，
在上恒成立，所以函數在是增函數；
④當時，
令，解得或，所以函數在和上是增函數. 6分
綜上所述，
①當時，函數的單調遞增區間是；
②當時，函數的單調遞增區間是和；
③當時，函數的單調遞增區間是；
④當時，函數的單調遞增區間是和. 7分
(Ⅱ)因為函數在點處的切線的斜率大于，
所以當時，恒成立.
即當時，恒成立.
設，函數的對稱軸方程為.10分
（�。┊�時，在時恒成立.
(ⅱ) 當時，即時，在時，函數成立，則方程 的判別式
，解得.
(ⅲ)當時，即時，在上為增函數，的取值范圍是，則在
時，函數不恒成立. 13分
綜上所述，時，在函數的圖象上任意一點處的切線的斜率恒大于. 14分