Question

【題目】函數，.

（1）若，求函數的單調區間；

（2）若恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設，，為曲線上兩點，且，設直線斜率為，，證明：

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間為，單調遞增區間為（2）（3）見證明

【解析】

（1）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）恒成立，等價于恒成立，設，利用導數研究函數的單調性，求出函數的最大值，從而可得結果; （3）要證即證，設，只需證明 ，其中，設，利用導數證明即可得結論.

（1）當時，函數，.

.

當時，，當時，，

則函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.

（2）恒成立，即恒成立，整理得：恒成立，設，則，令，得，所以，在上函數單調遞增，在上單調遞減.

所以當時，函數取得最大值，因此.

（3），

又，所以

要證.

即證，因為，

即證，

設，即證：，

也就是要證：，其中，

設，

則 ，

所以在上單調遞增，因此.即：.