Question

【題目】在如圖（1）梯形中，，過作于，，沿翻折后得圖（2），使得，又點滿足，連接，且.

（1）證明：平面；

（2）求平面與平面所成的二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接與交于點，由，得到，由比例關系得到，再由線面平行的判定定理證明.

（2）根據由，得四邊形為平行四邊形，由，，得，再由，得平面，所以，從而平面，以點為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標，分別求得平面BMD和平面得一個法向量，再利用面面角的向量法求解.

（1）如圖所示：

連接與交于點，，則

，，

又平面，平面，

∴平面.

（2）證明：由，

得四邊形為平行四邊形，

所以，，

所以，

所以，

又，

所以平面，所以，

又，平面

以點為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

則，

所以

設平面BMD的一個法向量為，

所以

令，則，

又平面得一個法向量為，

所以，

又平面與平面所成的二面角顯然為銳角，

所以平面與平面所成的二面角的余弦值.