【題目】已知拋物線:
的焦點為
,直線
:
與拋物線
交于
,
兩點.
(1)若,求直線的方程;
(2)過點作直線
交拋物線
于
,
兩點,若線段
,
的中點分別為
,
,直線
與
軸的交點為
,求點
到直線
與
距離和的最大值.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
(1)直線方程和拋物線方程聯立,可得由
利用韋達定理求得
即可得出結果.
(2)由(1)中韋達定理可求得點坐標為
,直線
,且均過焦點為
,可求
,進而求得直線
的方程,得到
的坐標為(3,0),設點
到直線
和
的距離分別為
,
,由
利用基本不等式性質
,即可求得結果.
解:(1)由已知得,
直線:
與
聯立消
,得
.
設,
,則
,
.
由,得
,
即,得
,
所以或
.
所以直線的方程為
或
(2)由(1)知,所以
,所以
.
因為直線過點
且
,所以用
替換
得
.
當時,
:
,
整理化簡得,
所以當時,直線
過定點(3,0);
當時,直線
的方程為
,過點(3,0).
所以點的坐標為(3,0)
設點到直線
和
的距離分別為
,
,由
,
,得
.
因為,所以
,當且僅當
時,等號成立,
所以點到直線
和
的距離和的最大值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,A1D與AD1交于點E,AA1=AD=2AB=4.
(1)證明:AE⊥平面ECD.
(2)求直線A1C與平面EAC所成角的正弦值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E:,直線l不過原點O且不平行于坐標軸,l與E有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.
若
,點K在橢圓E上,
、
分別為橢圓的兩個焦點,求
的范圍;
證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;
若l過點
,射線OM與橢圓E交于點P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求此時直線l斜率;若不能,說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖(1),在圓錐內放兩個大小不同且不相切的球,使得它們分別與圓錐的側面、底面相切,用與兩球都相切的平面截圓錐的側面得到截口曲線是橢圓.理由如下:如圖(2),若兩個球分別與截面相切于點,在得到的截口曲線上任取一點
,過點
作圓錐母線,分別與兩球相切于點
,由球與圓的幾何性質,得
,
,所以
,且
,由橢圓定義知截口曲線是橢圓,切點
為焦點.這個結論在圓柱中也適用,如圖(3),在一個高為
,底面半徑為
的圓柱體內放球,球與圓柱底面及側面均相切.若一個平面與兩個球均相切,則此平面截圓柱所得的截口曲線也為一個橢圓,則該橢圓的離心率為______.
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