Question

【題目】已知在平面直角坐標系中，中心在原點，焦點在y軸上的橢圓C與橢圓的離心率相同，且橢圓C短軸的頂點與橢圓E長軸的頂點重合.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l與橢圓E有且僅有一個公共點，且與橢圓C交于不同兩點A，B，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先求出橢圓的長軸及離心率，進而可得到橢圓C的短軸和離心率，進而可求得橢圓C的標準方程；

（2）若直線的斜率不存在，易知直線與橢圓相切，不符合題，從而可知直線的斜率存在，設出直線的方程，與橢圓聯立，得到關于的一元二次方程，結合，可得，然后將直線的方程與橢圓的方程聯立，得到關于的一元二次方程，進而求得弦長的表達式，結合，可求得弦長的最大值.

（1）由題意，橢圓的長軸長為4，離心率為，

設橢圓的方程為，則橢圓的短軸長為，即，離心率為，解得，故橢圓的方程為.

（2）若直線的斜率不存在，則直線方程為，此時直線與橢圓相切，不滿足題意，故直線的斜率存在，設其方程為，

聯立，消去得，，

則，整理得，

聯立，消去得，，

則，整理得，顯然成立，

且，，

則，

整理得，

又因為，所以，

設，則，，

因為，當且僅當時，等號成立，所以，此時，即時，取得最大值 .