Question

【題目】已知橢圓：的長軸長為，右頂點到左焦點的距離為，直線l：與橢圓交于A，B兩點．

求橢圓的方程；

若A為橢圓的上項點，M為AB中點，O為坐標原點，連接OM并延長交橢圓于N，，求k的值．

若原點O到直線l的距離為1，，當時，求的面積S的范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

先根據已知條件可求出a、c的值，結合a、b、c的值可得出b的值，進而可求出橢圓的標準方程；

先得出直線l的方程為，將直線l的方程代入橢圓方程可求出點B的坐標，利用中點坐標公式可得出點M的坐標，根據已知條件可得出點N的坐標，再將點N的坐標代入橢圓的方程，即可求出k的值；

利用原點O到直線l的距離可得出，將直線l的方程與橢圓方程聯立，列出韋達定理，將韋達定理代入，結合的取值范圍可得出的取值范圍，并求出線段AB的長度的表達式，可求出的取值范圍，再利用三角形的面積公式可求出S的取值范圍．

由題意可知，，于是得到，

因為右頂點到左焦點的距離為，所以，，則，

因此，橢圓的方程為；

當點A為橢圓的上頂點時，點A的坐標為，則，直線l的方程為，

將直線l的方程代入橢圓的方程并化簡得，解得，，

所以點B的坐標為，

由于點M為線段AB的中點，則點M的坐標為，

由于，所以，點N的坐標為，

將點N的坐標代入橢圓的方程得，化簡得，解得；

由于點O到直線l的距離為1，則有，所以，．

設點、，將直線l的方程代入橢圓方程并化簡得，

由韋達定理可得，，

，

由于，即，解得，

線段AB的長為

，

所以，．

因此，的面積S的取值范圍是．