Question

【題目】已知橢圓，四點中恰有三點在橢圓上.

（1）求橢圓C的方程

（2）橢圓C上是否存在不同的兩點M,N關于直線對稱？若存在，請求出直線MN的方程，若不存在，請說明理由.

（3）設直線l不經過點且與C相交于A,B兩點，若直線與直線的斜率之和為1，求證直線l必過定點，并求出這個定點坐標.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，（3）證明見解析，

【解析】

（1）根據對稱性得到在橢圓上，故不在橢圓上，代入數據計算得到答案.

（2）假設存在，設 ，代入橢圓相減得到，再根據計算得到答案.

（3）設，利用韋達定理得到，根據斜率之和為1得到，得到過定點

（1）根據對稱性知在橢圓上，故不在橢圓上.

代入得到，代入得到

故橢圓方程為：

（2）存在；假設存在，設 ，代入橢圓相減得到：

設中點為 ，則

在直線上，得到，解得

故方程為

（3）設，聯立方程得到 故

故

故直線方程為過定點.