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【題目】已知是函數的極值點.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）求證：函數存在唯一的極小值點，且.

（參考數據：）

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見證明

【解析】

(Ⅰ)根據求得；通過導數驗證函數的單調性，可知時極值點為，滿足題意；(Ⅱ)根據(Ⅰ)可知極小值點位于，此時的零點，且此時為極小值點，代入得到關于的二次函數，求解二次函數值域即可證得結論.

(Ⅰ)因為，且是極值點

所以，所以

此時

設 ，則

則當時，，為減函數

又

當時，，則為增函數

當 時，，則為減函數

此時為的極大值點，符合題意

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，時，不存在極小值點

當時，，為增函數，且 ，

所以存在

結合(Ⅰ)可知當時，，為減函數； 時，，為增函數，所以函數存在唯一的極小值點

又 ，所以

且滿足 .

所以

由二次函數圖象可知：

又，

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】記表示，中的最大值，如．已知函數，．

（1）設，求函數在上零點的個數；

（2）試探討是否存在實數，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知集合，且下列三個關系：，，中有且只有一個正確，則函數的值域是__________．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2018年，依托用戶碎片化時間的娛樂需求、分享需求以及視頻態的信息負載力，短視頻快速崛起；與此同時，移動閱讀方興未艾，從側面反應了人們對精神富足的一種追求，在習慣了大眾娛樂所帶來的短暫愉悅后，部分用戶依舊對有著傳統文學底蘊的嚴肅閱讀青睞有加．

某讀書APP抽樣調查了非一線城市M和一線城市N各100名用戶的日使用時長（單位：分鐘），繪制成頻率分布直方圖如下，其中日使用時長不低于60分鐘的用戶記為“活躍用戶”．

（1）請填寫以下列聯表，并判斷是否有99．5%的把握認為用戶活躍與否與所在城市有關？

活躍用戶

不活躍用戶

合計

城市M

城市N

合計

（2）以頻率估計概率，從城市M中任選2名用戶，從城市N中任選1名用戶，設這3名用戶中活躍用戶的人數為，求的分布列和數學期望．

（3）該讀書APP還統計了2018年4個季度的用戶使用時長y（單位：百萬小時），發現y與季度（）線性相關，得到回歸直線為，已知這4個季度的用戶平均使用時長為12.3百萬小時，試以此回歸方程估計2019年第一季度（）該讀書APP用戶使用時長約為多少百萬小時．

附：，其中．

0.025

0.010

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線上動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數.若過的動直線與曲線相交于兩點.

(1)判斷曲線的名稱并寫出它的標準方程；

(2)是否存在與點不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且，點D為線段AO的中點，點C為圓O上的一點，且，平面ABC，.

（1）求證：平面PAB.

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知為坐標原點，點，，，動點滿足，點為線段的中點，拋物線：上點的縱坐標為，.

（1）求動點的軌跡曲線的標準方程及拋物線的標準方程；

（2）若拋物線的準線上一點滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）若在上為單調遞增，求實數的取值范圍；

（2）若，且，求證：對定義域內的任意實數，不等式恒成立.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，.

（1）若，求函數在區間（其中，是自然對數的底數）上的最小值；

（2）若存在與函數，的圖象都相切的直線，求實數的取值范圍.

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