【題目】已知函數
，
.
（1）若
在
上為單調遞增，求實數
的取值范圍；
（2）若
，且
，求證：對定義域內的任意實數
，不等式
恒成立.
【答案】（1）
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）根據函數單調遞增可得
，將問題轉化為
在
上恒成立；利用導數求解出
在的最小值，從而得到
的取值范圍；（2）將問題轉化為證明當
時，
，在
和
時分別得到需恒成立的不等式；令
，通過導數研究
單調性，結合
可證得結論.
（1）由已知
的定義域為
所以
在上單調遞增
對任意
，都有
即
令，
當時，
；當時，
函數在
上單調遞增，在
上單調遞減
因為時，總有
（2）當
時，
對定義域內的任意正數
，不等式
恒成立，即時，
因為當時，
；當時，
，
所以只須證：當時，
；當時，
令
令
，則
當時，
；當時，
所以
是
的極值點，從而有極小值，即最小值
所以
恒成立
在上單調遞增，又因為
所以當時，
，即恒成立；
當時，
，即恒成立
所以，對定義域內的任意實數，不等式恒成立
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】今年3月5日，國務院總理李克強作的政府工作報告中，提到要“懲戒學術不端，力戒學術不端，力戒浮躁之風”.教育部日前公布的《教育部2019年部門預算》中透露，2019年教育部擬抽檢博士學位論文約6000篇，預算為800萬元.國務院學位委員會、教育部2014年印發的《博士碩士學位論文抽檢辦法》通知中規定：每篇抽檢的學位論文送3位同行專家進行評議，3位專家中有2位以上（含2位）專家評議意見為“不合格”的學位論文，將認定為“存在問題學位論文”.有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學位論文，將再送2位同行專家進得復評，2位復評專家中有1位以上（含1位）專家評議意見為“不合格”的學位論文，將認定為“存在問題學位論文”.設每篇學位論文被每位專家評議為“不合格”的概率均為
，且各篇學位論文是否被評議為“不合格”相互獨立.
（1）記一篇抽檢的學位論文被認定為“存在問題學位論文”的概率為
，求；
（2）若擬定每篇抽檢論文不需要復評的評審費用為900元，需要復評的評審費用為1500元；除評審費外，其它費用總計為100萬元.現以此方案實施，且抽檢論文為6000篇，問是否會超過預算？并說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某技術人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術人員從中隨機抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為
)進行統計,繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在
內的植物有8株,在
內的植物有2株.
(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的
,
的值;
(Ⅱ)在選取的樣本中,從高度在
內的植物中隨機抽取3株,設隨機變量
表示所抽取的3株高度在
內的株數,求隨機變量的分布列及數學期望;
(Ⅲ)據市場調研,高度在內的該植物最受市場追捧.老王準備前往該基地隨機購買該植物50株.現有兩種購買方案,方案一:按照該植物的不同高度來付費,其中高度在內的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數來付費,每株6元.請你根據該基地該植物樣本的統計分析結果為決策依據,預測老王采取哪種付費方式更便宜?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
是定義在
上的奇函數，當
時，
．則下列結論正確的是（ ）．
A.當
時，
B.函數有五個零點
C.若關于
的方程
有解，則實數
的取值范圍是
D.對
，
恒成立
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
平面
，
，四邊形
滿足
且
，點
為
的中點，點
為
邊上的動點，且
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）是否存在實數
，使得二面角
的余弦值為
？若存在，試求出實數
的值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知p：x2-(3+a)x+3a＜0，其中a＜3；q：x2+4x-5＞0．
（1）若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍；
（2）若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
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