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【題目】如圖，四棱錐的一個側面為等邊三角形，且平面平面，四邊形是平行四邊形，，，.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）由面面垂直的性質可得平面，即可證得（2）作于點，過點作于點，連接，以為坐標原點，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用向量法求平面法向量，利用向量夾角即可求出.

（1）證明：在中，，，，

∴.

又平面平面，

平面平面，

∴平面，∴.

（2）如圖，作于點，

則平面，

過點作于點，連接，

以為坐標原點，以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則，，，，

，，

由（1）知平面的一個法向量為，

設平面的法向量為，

則，即，

取，

設平面與平面所成二面角的平面角為，

則.

所以二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】某超市計劃銷售某種食品，現邀請甲、乙兩個商家進場試銷10天.兩個商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每賣出一件食品商家再返利3元；乙商家無固定返利，賣出不超出30件(含30件)的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元. 經統計，試銷這10天兩個商家每天的銷量如圖所示的莖葉圖（莖為十位數字，葉為個位數字）：

（1）現從甲商家試銷的10天中隨機抽取兩天，求這兩天的銷售量都小于30件的概率；

（2）根據試銷10天的數據，將頻率視作概率，用樣本估計總體，回答以下問題：

①記商家乙的日返利額為X(單位：元)，求X的分布列和數學期望；

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（1）若為真命題，求實數的取值范圍；

（2）若為真命題，為假命題，求實數的取值范圍.

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（1）求證：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

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（1）證明：；

（2）求二面角的平面角的正弦值；

（3）設點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.

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