Question

【題目】設集合由滿足下列兩個條件的數列構成:①②存在實數使得對任意正整數都成立.

(1)現在給出只有5項的有限數列試判斷數列是否為集合的元素；

(2)設數列的前項和為且若對任意正整數點均在直線上，證明:數列并寫出實數的取值范圍；

(3)設數列若數列沒有最大值，求證:數列一定是單調遞增數列。

Answer 1

【答案】（1）不是；（2），；（3）證明略

【解析】

（1）由于，可知數列不滿足條件①．（2）由于點，在直線

上，可得，利用遞推關系可得：，利用等比數列的前項和公式可得：，驗證，可知：條件①成立．由于，即可得出條件②及其，的范圍．（3）利用反證法證明.

（1）解：，因此數列不滿足條件①，數列．

（2）證明：點，在直線上，，

當時，，可得：，化為，

n=1時，易知，顯然

數列是等比數列，首項為1，公比為．，

則，

．條件①成立．

由于，，．

（3）證明：（反證法）若數列非單調遞增，則一定存在正整數，使成立，

當時，由，得，

而，所以．

顯然在， ，，這項中一定存在一個最大值，不妨記為，

所以為，這與數列沒有最大值相矛盾．

所以假設不成立，故命題得證．