Question

【題目】已知， .

（1）若曲線在點處的切線的斜率為5，求的值；

（2）若函數的最小值為，求的值；

（3）當時， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）本問考查導數幾何意義，求導公式和導數四則運算，由題對求導得， ，則，于是；（2）本問考查利用導數研究函數的最值， ，當，則，分別討論當， 時，函數的單調性，從而求出最小值，令最小值等于，求出的值；（3）本問考查恒成立問題的解法，首先將不等式 等價轉化為 ，即 ，所以問題轉化為求函數的最小值，利用已經得到的單調性可以求出最小值，進而求出的范圍.

試題解析：（1）， ， .

（2）函數的定義域為，

，

令，則，

①當，即時，在上， ，函數單調遞增，無最小值.

②當，即時，在上， ，函數單調遞減；在上， ，函數單調遞增，所以函數的最小值為 ，解得.

綜上，若函數的最小值為，則.

（3）由 得，

，即 ，

令，則 ，

由（1）可知，當時， 在上單調遞減，在上， 單調遞增，所以在上， ，所以，即.