Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線在和處的切線互相平行，求的值；

（2）求的單調區間；

（3）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是，當時，的單調遞增區間是和，單調遞減區間是，當時，的單調遞增區間是，當時, 的單調遞增區間是和，單調遞減區間是；（3）.

【解析】

試題分析：（1）根據導數幾何意義得列等量關系，解得；（2）先研究函數零點：；當時，一個零點；當時，兩個零點，此時再比較兩個零點大小，需分三種情況討論：最后列表分析導函數符號變化規律，確定函數單調區間；（3）任意存在性問題，一般先轉化為對應函數最值問題：，易確定的最大值為，此時可繼續分類討論求的最大值，也可以再利用變量分離轉化為對應函數最值：的最大值.

試題解析：（1）由題意知，，即，解得.

（2）.①當時，，在區間上，；在區間上，，故的單調遞增區間是，單調遞減區間是.②當時，在區間和上，；在區間上，，故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.③當時，，故的單調遞增區間是.④當時,,在區間和上，；在區間上，，故的單調遞增區間是和，單調遞減區間是.

（3）由題意知，在上有,由已知得，，由（2）可知，①當時, 在上單調遞增，故，所以，解得,故.②當時, 在上單調遞增，在上單調遞減，故,由可知，即，

綜上所述，.