Question

【題目】[選修4-4：坐標系與參數方程]

在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知點是曲線上的動點，求點到曲線的最小距離．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1) 曲線C1的參數方程消去參數，能求出曲線C1的普通方程，曲線C2的極坐標方程利用，能求出曲線C2的直角坐標方程；(2) 設點的坐標為，利用點到直線的距離表示點到曲線的最小距離，結合三角函數的圖像與性質即可得到最小值.

（1）消去參數得到，

故曲線的普通方程為

，由

得到，

即,故曲線的普通方程為

（2）〖解法1〗設點的坐標為，

點到曲線的距離

所以，當時，的值最小，

所以點到曲線的最小距離為.

（2）〖解法2〗設平行直線：的直線方程為

當直線與橢圓相切于點P時，P到直線的距離取得最大或最小值。

由得，

令其判別式，解得，

經檢驗，當時，點P到直線的距離最小，最小值為

所以點到曲線的最小距離為.