Question

【題目】已知函數在點處取得極小值－5，其導函數的圖象經過點(0,0)，(2,0)．

（1）求的值；

（2）求及函數的表達式．

Answer 1

【答案】（1） ； （2），.

【解析】

(1)對函數求導得到導函數，代入已知點得到參數值；（2）根據到函數的正負可得到函數的極小值點為x=2,由f(2)＝－5，得c＝－1.

(1)由題設可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

∵f′(x)的圖象過點(0,0)，(2,0)，∴

解得a＝－3，b＝0.

(2)由f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0，

∴在(－∞，0)上f′(x)>0，在(0,2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)>0.

∴f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上遞增，在(0,2)上遞減，因此f(x)在x＝2處取得極小值．

所以x0＝2.由f(2)＝－5，得c＝－1，∴f(x)＝x3－3x2－1.