Question

【題目】2020年寒假期間，某高中決定深入調查本校學生寒假期間在家學習情況，并將依據調查結果對相應學生提出針對性學習建議．現從本校高一、高二、高三三個年級中分別隨機選取30，45，75人，然后再從這些學生中抽取10人，進行學情調查．

（1）若采用分層抽樣抽取10人，分別求高一、高二、高三應抽取的人數．

（2）若被抽取的10人中，有6人每天學時超過7小時，有4人每天學時不足4小時，現從這10人中，再隨機抽取4人做進一步調查．

（i）記事件A為“被抽取的4人中至多有1人學時不足4小時”，求事件A發生的概率；

（ii）用ξ表示被抽取的4人中學時不足4小時的人數，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】（1）高一、高二、高三應抽取的人數分別為2人，3人，5人；（2）（i）；（ii）見解析，

【解析】

（1）總數為30+45+75=150，從這些學生中抽取10人，根據分層抽樣法求出高一、高二、高三應抽取的人數即可；

（2）（i）記事件A為“被抽取的4人中至多有1人學時不足4小時”，記事件B為“被抽取的4人中恰有1人學時不足4小時”，記事件C為“被抽取的4人中恰有0人學時不足4小時”，則由P(A)＝P(B∪C)＝P(B)+P(C)，求出概率即可；

（ii）隨機變量ξ表示被抽取的4人中學時不足4小時的人數，則ξ＝0，1，2，3，4，求出隨機變量ξ的分布列和數學期望即可．

（1）從本校高一、高二、高三三個年級中分別隨機選取30，45，75人，

30+45+75=150，

從這些學生中抽取10人，根據分層抽樣法，高一應抽取102人，高二應抽取10人，高三應抽取10人，

故高一、高二、高三應抽取的人數分別為2人，3人，5人；

（2）（i）記事件A為“被抽取的4人中至多有1人學時不足4小時”，記事件B為“被抽取的4人中恰有1人學時不足4小時”，記事件C為“被抽取的4人中恰有0人學時不足4小時”，則P(A)＝P(B∪C)＝P(B)+P(C)；

（ii）隨機變量ξ表示被抽取的4人中學時不足4小時的人數，則ξ＝0，1，2，3，4，

則，，

，，

，

隨機變量ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P

E(ξ)．