Question

【題目】已知函數f（x）＝2|x+2|+|x﹣3|．

（1）求不等式f（x）≥8的解集；

（2）若a＞0，b＞0，且函數F（x）＝f（x）﹣3a﹣2b有唯一零點x0，證明：f（x0）．

Answer 1

【答案】（1）（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（2）見解析

【解析】

（1）分x≤，<x<3及x≥3三種情況討論，分別解不等式再取并集即可；

（2）易知x0=且f(x0)=5=3a+2b，即證成立，利用基本不等式即可得證．

（1）當x≤時，有(x+2)x+3≥8，即x≤3，故x≤3；

當2<x<3時，有2(x+2)x+3≥8，即x≥1，故1≤x<3；

當x≥3時，有2(x+2)+x3≥8，即，故x≥3；

綜上，不等式的解集為；

（2）證明：由題意知，y=f(x)與y=3a+2b的圖象有且只有一個交點，

可得x0=2且f(x0)=5=3a+2b，

即證明成立，

∵，

∴

，當且僅當時取等號，

∴．