Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣a|+|2x﹣a|（a∈R）．
（1）若f（1）＜11，求a的取值范圍；
（2）若a∈R，f（x）≥x2﹣x﹣3恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（1）=|1﹣a|+|2﹣a|= ，

當a≤1時，3﹣2a＜11，解得a＞﹣4，∴﹣4＜a≤1；

當1＜a＜2時，1＜11恒成立；

當a≥2時，2a﹣3＜11，解得a＜4，2≤a＜4．

綜上，a的取值范圍是（﹣4，4）

（2）解：f（x）=|x﹣a|+|2x﹣a|≥|x﹣a﹣（2x﹣a）|=|x|，

∴|x|≥x2﹣x﹣3，

∴ 或 ，

解得0≤x≤ 或﹣ x＜0．

∴﹣ ≤x≤

【解析】（1）討論a的范圍，得出f（1）關于a的解析式，從而解出a的值；（2）把a看作自變量，利用絕對值三角不等式得出|x﹣a|+|2x﹣a|的最小值，從而得出關于x的不等式解出．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．