【題目】對于項數為m（
且
）的有窮正整數數列
，記
，即
為
中的最小值，設由
組成的數列
稱為的“新型數列”.
（1）若數列為2019，2020，2019，2018，2017，請寫出的“新型數列”的所有項；
（2）若數列滿足
，且其對應的“新型數列”項數
，求的所有項的和；
（3）若數列的各項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求符合條件的及其對應的“新型數列”.
【答案】（1）數列
為2019，2019，2019，2018，2017（2）
（3）滿足題意的數列
：
.所以對應的“新型數列”分別為：
.
【解析】
(1)根據
的定義直接寫出
的所有項；(2)首先推出
關于n遞減，則中共21項且各項分別與中各項相同，相加利用等比數列的前n項和公式即可得解.(3)先不妨設數列單調遞增，分
、
、
三種情況討論，求出滿足題意的數列，進而求得對應的“新型數列”.
解：（1）數列為2019，2019，2019，2018，2017；
（2）由已知得：當
時，關于n遞減；當
時，關于n遞減，
又
時，關于n遞減.
，
.
又
，
.
共21項且各項分別與中各項相同，
其和為
.
（3）先不妨設數列單調遞增，
當時，
，
，
，此時無解，不滿足題意；
當時，由
得
，
，又
，
，代入原式得
.
當時，
，
而
，矛盾，
所以不存在滿足題意的數列.
綜上，滿足題意的數列：.
所以對應的“新型數列”分別為：.
53隨堂測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，過
軸正方向上一點
任作一直線，與拋物線
相交于
兩點，一條垂直于
軸的直線分別與線段
和直線
交于點
.
(1) 若
，求
的值；
(2) 若
，
為線段的中點，求證: 直線
與該拋物線有且僅有一個公共點.
(3) 若，直線的斜率存在，且與該拋物線有且僅有一個公共點，試問是否一定為線段的中點? 說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列 
的前
項和為
，對一切
，點
都在函數
的圖象上.
（1）求
，歸納數列的通項公式（不必證明）；
（2）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為
，
，
， 
；
，
，
，
；
，…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為
，求
的值；
（3）設
為數列
的前項積，若不等式
對一切都成立，其中
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列
滿足
則稱
為
數列.記
（1）若
為數列,且
試寫出
的所有可能值；
（2）若為數列，且
求
的最大值；
（3）對任意給定的正整數
是否存在數列
使得
？若存在，寫出滿足條件的一個數列；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
，
）的周期為
，圖象的一個對稱中心為
，將函數
圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得到的圖象向右平移
個單位長度后得到函數
的圖象.
（1）求函數
與的解析式；
（2）求證：存在
，使得
，
，
能按照某種順序成等差數列.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有一塊鐵皮零件，其形狀是由邊長為
的正方形截去一個三角形
所得的五邊形
，其中
，如圖所示.現在需要用這塊材料截取矩形鐵皮
，使得矩形相鄰兩邊分別落在
上，另一頂點
落在邊
或
邊上.設
，矩形的面積為
.
（1）試求出矩形鐵皮的面積
關于
的函數解析式，并寫出定義域；
（2）試問如何截�。�取何值時），可使得到的矩形的面積最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分別是AB，PD的中點，且PA=AD．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求證：平面PEC⊥平面PCD．
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