Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，過軸正方向上一點任作一直線，與拋物線相交于兩點，一條垂直于軸的直線分別與線段和直線交于點.

(1) 若，求的值；

(2) 若，為線段的中點，求證: 直線與該拋物線有且僅有一個公共點.

(3) 若，直線的斜率存在，且與該拋物線有且僅有一個公共點，試問是否一定為線段的中點? 說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 證明見解析；(3)是，理由見解析.

【解析】

（1）設，，，則，聯立直線方程和拋物線方程，消去后利用韋達定理可得關于的方程，從而可求的值.

（2）設，用表示直線的方程，聯立該直線的方程和拋物線的方程后可得該方程組有且只有一組解，故直線與拋物線相切.

（3）設，利用（2）的結果可得切線的方程，求出的坐標和直線的方程后，聯立直線的方程和拋物線的方程，消去后利用韋達定理可求中點的橫坐標，可證它就是的橫坐標，從而一定為線段的中點.

（1） 設，，

由得，故，從而.

又，故，解得或，

舍去負值，得.

（2）由（1）得，，故，故.

設在上，且滿足，又，

故直線的方程為，

而.

故，

由得，故方程組有唯一解，

故直線與該拋物線有且僅有一個公共點.

（3）設，這里，

由（2）知過與有且僅有一個公共點的斜率存在的直線必為.

令得，故，

又 ，所以.

由 ，故

這樣是的中點.