Question

【題目】設函數．

（1）若不等式對恒成立，求的值；

（2）若在內有兩個極值點，求負數的取值范圍；

（3）已知，，若對任意實數，總存在正實數，使得成立，求正實數的取值集合．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）；（3）

【解析】

（1）討論，和三種情況，分別計算得到答案.

（2）求導得到，討論，，三種情況，分別計算得到答案.

（3）在上是增函數，其值域為，若，則函數在上是增函數，值域為，記，則

根據得到答案.

（1）若，則當時，，，，不合題意；

若，則當時，，，，不合題意；

若，則當時，，，，

當時，，，，

當時，，滿足題意，因此=．

（2），，

令，，則，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

因此 點，在

（i）當時，，，在內至多有一個極值點．

（ii）當時，由于，所以，

而，，，

因此在上無零點，在上有且僅有一個零點，

從而上有且僅有一零點，在內有且僅有一個極值點．

（iii）當時，，，，

因此在上有且僅有一個零點，

從而在上有且僅有兩個零點，在內有且僅有兩個極值點．

綜上所述，的取值范圍為．

（3）因為對任意實數，總存在實數，使得成立，

所以函數的值域為．

在上是增函數，其值域為，

對于函數，，當時，，

當時，，函數在上為單調減函數，

當時，，函數在上為單調增函數．

若，則函數在上是增函數，在上是減函數，其值域為，又，不符合題意，舍去；

若，則函數在上是增函數，值域為，

由題意得，即 ①

記，則

當時，，在上為單調減函數．

當時，，在上為單調增函數．所以，當時，有最小值，

從而恒成立（當且僅當時， ②

由①②得，，所以．

綜上所述，正實數的取值集合為．