Question

【題目】已知函數，其函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.

（1）求函數的解析式及對稱中心；

（2）將函數的圖象向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度得到函數的圖象，若關于的方程在區間上有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】分析：（1）將函數化為后再求對稱中心．（2）由題意得，且，令后可將問題轉化為關于的方程在區間上僅有一個實數根求解，然后根據方程根的分布可得所求結果．

詳解：（1）由題意得

．

∵函數圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，

∴，

∴

sin()

由，

得，

．

(2)由題意知，

∵，

∴．

設．

∵關于的方程在區間上有兩個不相等的實根，

∴關于的方程在區間上僅有一個實數根．

令H(t)=， ，

則函數H(t)的圖象為開口向上的拋物線，且過定點（0,2）．

故由條件可得H()=9+，

解得，

∴實數的取值范圍為．