Question

【題目】已知為定義在上的偶函數，，且當時，單調遞增，則不等式的解集為__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，分析可得f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2g（x+1）＞g（x+2），由函數奇偶性的定義分析可得g（x）為偶函數，結合函數的單調性分析可得g（x+1）＞g（x+2）|x+1|＞|x+2|，解可得x的取值范圍，即可得答案．

根據題意，g（x）＝f（x）+x2，

則f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2g（x+1）＞g（x+2），

若f（x）為偶函數，則g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即可得函數g（x）為偶函數，

又由當x∈（﹣∞，0]時，g（x）單調遞增，則g（x）在[0，+∞）上遞減，

則g（x+1）＞g（x+2）|x+1|＜|x+2|（x+1）2＜（x+2）2，解可得x，

即不等式的解集為（，+∞）；

故答案為：（，+∞）．