Question

【題目】設Sn為數列{an}的前n項和，若an＞0，a1＝1，且2Sn＝an（an+t）（t∈R，n∈N*），則S100＝_____.

Answer 1

【答案】5050

【解析】

先由題設條件求出t，再由2Sn＝an（an+1）得2Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+1），進而得出Sn，代入求S100.

∵an＞0，a1＝1，且2Sn＝an（an+t）（t∈R，n∈N*），

∴當n＝1，有2S1＝a1（a1+t），即2＝1+t，

解得：t＝1.

∴2Sn＝an（an+1）①，

又當n≥2時，有2Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+1）②，

∴①﹣②可得：2（Sn﹣Sn﹣1）＝an（an+1）﹣an﹣1（an﹣1+1），

整理得：an+an﹣1＝an2﹣an﹣12，

∵an＞0，

∴an﹣an﹣1＝1.

所以數列{an}是以a1＝1為首項，公差d＝1的等差數列，

∴其前n項和Sn，

∴S1005050.

故答案為：5050.