Question

【題目】己知橢圓W：+=1（a>b>0），直線：=與軸，軸的交點分別是橢圓W的焦點與頂點。

（1）求橢圓W的方程；

（2）設直線m：=kx（k≠0）與橢圓W交于P，Q兩點，過點P（，）作PC⊥軸，垂足為點C，直線交橢圓w于另一點R。

①求△PCQ面積的最大值；②求出∠QPR的大小。

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②90.

【解析】

（1）由題意求出c，b，進而得到橢圓W的方程；

（2）①設P（，），則Q（，），C（，0），可知S，利用點在橢圓上及均值不等式即可得到△PCQ面積的最大值；②設P（，），則Q（，），C（，0），k=，直線QR的斜率，直線QR的方程：（）與橢圓方程聯立可得（2+）2－2，求得R點坐標，進而得到即可得到結果.

（1）直線：與軸，軸的交點分別（，0），（0，），

可知c=，，橢圓W的方程。

（2）①設P（，），則Q（，），C（，0），可知S，

有已知可知，根據重要不等式得，S，

當且僅當或時，面積取得最大值。

②設P（，），則Q（，），C（，0），k=。

直線QR的斜率。

可得直線QR的方程：（），設點R（，），

聯立消去得（2+）2－2，

則，解得，所以，點R（，）。

因為，所以，所以∠QPR=90°。