Question

【題目】已知如圖，菱形的邊長為2，對角線，現將沿著對角線翻折至點.

（1）求證：；

（2）若，且點E為線段的中點，求與平面夾角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點O，連接和，在菱形中，易得，，，再利用線面垂直的判定定理證明.

（2）根據平面幾何知識，得到為等邊三角形，再由（1）得平面平面，則平面.作，以點O為坐標原點，、、分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，先求得平面的一個法向量為，的坐標，然后代入公式.

（1）如圖所示：

取的中點O，連接和，

在菱形中，

，，，

所以面，

又面，

所以.

（2）由于菱形的邊長為2，，取的中點F，

根據余弦定理得，

因為，

所以，

所以，

所以.

又，則為等邊三角形，

由（1）得平面平面，則平面.

作，以點O為坐標原點，、、分別為x，y，z軸，

建立空間直角坐標系，

則，，，，，

，，

設面的一個法向量為，

則，則，

令，則 ，

所以，，

設與平面的夾角為θ，

則.