Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面，，且，點為中點.

（1）證明：平面平面；

（2）直線和平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）可證平面，從而得到平面平面.

（2）設為中點，連結，，可以證明、、，建立如圖所示的空間直角坐標系后可求給定的二面角的余弦值.

解：（1）∵平面平面，平面平面，

平面，，

∴平面，∵平面，∴

又∴，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

（2）設為中點，連結，，

又，故且，.

∵平面平面，平面平面，

平面，∴平面.

∵平面，∴，

又為矩形的對邊的中點，故.

以為坐標原點，分別以為軸正方向建立空間直角坐標系，

則， .

設，其中，則.

又平面的法向量為，

所以，故，所以，

所以，.

故，，，

設平面的法向量為

故即，

令，∴.

設平面的法向量為

故即，

令，∴，

∴，

因為二面角為銳角，故其余弦值為.