Question

【題目】設函數，，其中．

（1）若是關于的不等式的解，求的取值范圍；

（2）求函數在上的最小值；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；

（4）當時，令，試研究函數的單調性，求在該區間上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3） ；（4）在單調遞減，在單調遞增；最小值為，

【解析】

（1）在不等式中令，則可以得到關于的不等式，其解即為的取值范圍.

（2）就是、分類討論函數的單調性后可求在上的最小值.

（3）由可得實數的取值范圍.

（4）設任意，考慮的符號后可得的單調性，從而可求的最小值.

（1）由題設有，故，故.

（2）若，

設任意的，則，

因為，故，，

所以即，所以為上的減函數，

故的最小值為.

若，則

設任意的，則，

因為，故，，

所以即，所以為上的減函數，

同理可證：為上的增函數.

所以的最小值為，

故.

（3）因為對任意的，不等式恒成立，

故.

由（2）可知：當時，由，當時，由，

所以或即（無解）或，

故.

（4）若，則，

設任意的，則，

因為，故，，

所以即，所以為上的減函數，

同理可證為上的增函數，

所以在上的最小值為．