Question

【題目】已知拋物線：，，，，四點都在拋物線上.

（1）若線段的斜率為，求線段中點的縱坐標；

（2）記，若直線，均過定點，且，，分別為，的中點，證明：，，三點共線.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）設，，分別代入拋物線方程并作差，結合線段的斜率為，可求出的值；

（2）設出直線，的方程，分別與拋物線方程聯立，結合韋達定理，可得到，坐標的表達式，進而求得直線方程的表達式，結合，證明在直線上即可.

（1）設，，由，在拋物線上，得，

兩式相減可得.

由題意知，，所以，

則，則線段中點的縱坐標為.

（2）因為，故直線，的斜率存在且不為零.

設直線，直線.易知，，.

由，得，則.

設.則，，即.

同理可得，.

所以，則直線.

因為，所以，即.

所以直線，故直線過點，即，，三點共線.