Question

【題目】對于雙曲線：()，若點滿足，則稱在的外部；若點滿足，則稱在的內部.

(1)證明：直線上的點都在的外部.

(2)若點的坐標為，點在的內部或上，求的最小值.

(3)若過點，圓()在內部及上的點構成的圓弧長等于該圓周長的一半，求、滿足的關系式及的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) 最小值為．(3) ,的取值范圍為．

【解析】

（1）設直線上的點坐標為，代入雙曲線方程檢驗；

（2）設點，由題設．，求得這個式子的最小值即可．

（3）由于圓和雙曲線均關于坐標軸和原點對稱，所以只需考慮這兩個曲線在第一象限及、軸正半軸的情況．圓與雙曲線的交點平分該圓在第一象限內的圓弧，它們交點的坐標為．代入雙曲線方程得（*），雙曲線過點，得，消去得．

由得的取值范圍．

（1）設直線上點的坐標為，代入，

得，

對于，，因此，直線上的點都在的外部．

（2）設點的坐標為，由題設．

，由，得，

對于，有，于是，

因此，的最小值為．

（3）因為圓和雙曲線均關于坐標軸和原點對稱，所以只需考慮這兩個曲線在第一象限及、軸正半軸的情況．

由題設，圓與雙曲線的交點平分該圓在第一象限內的圓弧，它們交點的坐標為．…

將，代入雙曲線方程，得（*），

又因為過點，所以，

將代入（*）式，得．

由，解得．因此，的取值范圍為．