Question

【題目】 某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路的山區邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為，山區邊界曲線為，計劃修建的公路為，如圖所示，為的兩個端點，測得點到的距離分別為5千米和40千米，點到的距離分別為20千米和2.5千米，以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標系，假設曲線符合函數（其中為常數）模型．

（1）求的值；

（2）設公路與曲線相切于點，的橫坐標為.

①請寫出公路長度的函數解析式，并寫出其定義域；

②當為何值時，公路的長度最短？求出最短長度．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②當 時，公路 的長度最短，最短長度為千米.

【解析】

試題分析：（1）由題意，可知點，的坐標，代入函數可求解得到；（2）①設切點為，根據導數的幾何意義求得切線方程，并且切線與，軸分別于，點，求得點的坐標,并表示，②，設，根據導數判斷函數的單調性，求定義域內的最值.

試題解析：（1）由題意知，點，的坐標分別為，.

將其分別代入，得，解得

（2）①由⑴得，則點的坐標為，

∵，∴切線的方程為，

設曲線在點處的切線交，軸分別于，點，則，，

∴

②設，則，令解得，

當時，，是減函數；

當時，，是增函數；

從而，當 時，函數有極小值，也是最小值.

∴，∴.

答：當 時，公路 的長度最短，最短長度為千米