Question

【題目】對關于的方程有近似解，必修一課本里研究過‘二分法’.現在結合導函數，介紹另一種方法‘牛頓切線法’.對曲線，估計零點的值在附近，然后持續實施如下‘牛頓切線法’的步驟：

在處作曲線的切線，交軸于點；

在處作曲線的切線，交軸于點；

在處作曲線的切線，交軸于點；

得到一個數列，它的各項就是方程的近似解，按照數列的順序越來越精確.請回答下列問題：

（1）求的值；

（2）設，求的解析式（用表示）；

（3）求該方程的近似解的這兩種方法，‘牛頓切線法’和‘二分法’，哪一種更快？請給出你的判斷和依據.（參照值：關于的方程有解）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）牛頓法更快，理由見詳解.

【解析】

（1）根據題意，求函數求導解得切線斜率，再結合點斜式求得切線方程，即可容易得到結果；

（2）求出在處的切線方程，則滿足切線方程即可；

（3）根據牛頓法和二分法的操作步驟，即可展開運算，從而進行比較.

（1）因為，故可得，

則，

故可得在處的切線方程為，

整理得，令，則.

根據題意，則.

（2）由（1）中所求，

可得，

故可得在處的切線方程為

，

又因為滿足切線方程，

故可得

解得.

故.

（3）根據（1）和（2）中所求，

用牛頓法經過1次運算，可得近似解，

用牛頓法經過次運算，可得近似解

用牛頓法經過3次運算，可得近似解

經過3次運算，牛頓法求得的近似解精確到了；

若采用二分法，選定初始區間為，

因為，經過一次運算，近似解為，

因為，經過二次運算，近似解為，

因為，經過三次運算，近似解為，

經過3次運算，二分法求得的近似解才精確到.

不難發現，牛頓法相對二分法要更加快速