Question

【題目】如圖（1），等腰梯形，，，，，分別是的兩個三等分點，若把等腰梯形沿虛線、折起，使得點和點重合，記為點， 如圖（2）．

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）推導出，，從而面，由此能證明平面平面；

（2）過點作于，過點作的平行線交于點，則面，以為原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值．

（1）證明：四邊形為等腰梯形，，，，，是 的兩個三等分點，

四邊形是正方形，，

，且，面，

又平面，平面平面；

（2）過點作于點，過點作的平行線交于點，則面，

以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則，，，，

,,,，

設平面的法向量，

則，取，得，

設平面的法向量，

則，∴，取，得：，

設平面與平面所成銳二面角為，

則．

平面與平面所成銳二面角的余弦值為．