Question

【題目】已知函數 ，且f（1）=1，f（﹣2）=4．
（1）求a、b的值；
（2）已知定點A（1，0），設點P（x，y）是函數y=f（x）（x＜﹣1）圖象上的任意一點，求|AP|的最小值，并求此時點P的坐標；
（3）當x∈[1，2]時，不等式 恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（1）=1，f（﹣2）=4．

得

解得：

（2）由（1） ，

所以 ，

令x+1=t，t＜0，

則

=

因為x＜﹣1，所以t＜0，

所以，當 ，

所以 ，

即AP的最小值是 ，此時 ，

點P的坐標是 ．

（3）問題即為 對x∈[1，2]恒成立，

也就是 對x∈[1，2]恒成立，

要使問題有意義，0＜m＜1或m＞2．

法一：在0＜m＜1或m＞2下，問題化為 對x∈[1，2]恒成立，

即 對x∈[1，2]恒成立，mx﹣m≤x2≤mx+m對x∈[1，2]恒成立，

①當x=1時， 或m＞2，

②當x≠1時， 且 對x∈（1，2]恒成立，

對于 對x∈（1，2]恒成立，等價于 ，

令t=x+1，x∈（1，2]，則x=t﹣1，t∈（2，3]， ，t∈（2，3]遞增，

∴ ， ，結合0＜m＜1或m＞2，

∴m＞2

對于 對x∈（1，2]恒成立，等價于

令t=x﹣1，x∈（1，2]，則x=t+1，t∈（0，1]，

，t∈（0，1]遞減，

∴ ，

∴m≤4，

∴0＜m＜1或2＜m≤4，

綜上：2＜m≤4

法二：問題即為 對x∈[1，2]恒成立，

也就是 對x∈[1，2]恒成立，

要使問題有意義，0＜m＜1或m＞2．

故問題轉化為x|x﹣m|≤m對x∈[1，2]恒成立，

令g（x）=x|x﹣m|

①若0＜m＜1時，由于x∈[1，2]，故g（x）=x（x﹣m）=x2﹣mx，g（x）在x∈[1，2]時單調遞增，

依題意g（2）≤m， ，舍去；

②若m＞2，由于x∈[1，2]，故 ，

考慮到 ，再分兩種情形：

（�。� ，即2＜m≤4，g（x）的最大值是 ，

依題意 ，即m≤4，

∴2＜m≤4；

（ⅱ） ，即m＞4，g（x）在x∈[1，2]時單調遞增，

故g（2）≤m，

∴2（m﹣2）≤m，

∴m≤4，舍去．

綜上可得，2＜m≤4

【解析】（1）由f（1）=1，f（﹣2）=4．代入解析式，即可求出a，b的值，（2）設P點坐標為（x，y），由兩點間的距離公式表示出 | A P | 2=( x 1 ) 2 + 4 ( ) 2 ，利用換元令令x+1=t，t＜0，即可求出AP的最小值，點P的坐標，（3）法一：由題目條件對不等式化簡得，對m討論，將恒成立問題化為最值問題，法二：問題化為對x∈[1，2]恒成立，即對x∈[1，2]恒成立，要使問題有意義，0＜m＜1或m＞2．問題轉化為x|x﹣m|≤m對x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x|x﹣m|，結合函數的性質可求得m的取值范圍.