Question

【題目】已知函數f（x）=（x2﹣x﹣1）ex ．
（1）求函數f（x）的單調區間．
（2）若方程a（ +1）+ex=ex在（0，1）內有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f′（x）=（x2+x﹣2）ex=（x﹣1）（x+2）ex，

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，

故f（x）在（﹣∞，﹣2）遞增，在（﹣2，1）遞減，在（1，+∞）遞增；

（2）方程a（ +1）+ex=ex可化為ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，

令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，則g（x）在（0，1）內有零點，易知g（0）=1，g（1）=0，

g′（x）=ex﹣2ax+a﹣e，設g′（x）=h（x），則h′（x）=ex﹣2a，

①a＜0時，h′（x）＞0，即h（x）在區間（0，1）遞增，h（0）=1+a﹣e＜0，

h（1）=﹣a＞0，即h（x）在區間（0，1）只有1個零點x1，

故g（x）在（0，x1）遞減，在（x1，1）遞增，

而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x1）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x1）內存在唯一零點；

②當0≤a≤ 時，h′（x）＞0，即h（x）在區間（0，1）遞增，

h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）遞減，得g（x）在（0，1）無零點；

③當 ＜a＜ 時，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），

∴h（x）在區間（0，ln（2a））上遞減，在（ln（2a），1）遞增，

h（x）在區間（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），

故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣ ＜0，

故 ＜a＜ 時，x∈（0，1），都有g′（x）＜0，g（x）在（0，1）遞減，

又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）內無零點；

④a≥ 時，h′（x）＜0，h（x）在區間（0，1）遞減，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，

若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞ ，

則h（x）在區間（0，1）只有1個零點x2，

故g（x）在（0，x2）遞增，在（x2，1）遞減，

而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）無零點，

若 ＜a時，則h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）遞減，得g（x）在（0，1）內無零點，

綜上，a＜0時，方程a（ +1）+ex=ex在（0，1）內有解．

【解析】（1）對f（x）求導，討論函數的單調區間即可，（2）問題可化為ex﹣ax2+（a﹣e）x=0，令g（x）=ex﹣ax2+（a﹣e）x，則g（x）在（0,1）內由零點，討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而確定a的范圍即可.
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．