Question

【題目】已知函數，.

（1）求的極值；

（2）若方程有三個解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，極小值；當時，無極值；當時，極大值；（2）

【解析】

（1）求得的定義域和導函數，對分成三種情況進行分類討論 的極值.

（2）構造函數，通過的導函數研究的零點，對分成進行分類討論，結合有三個零點，求得的取值范圍.

（1）的定義域為，

，

當時，在上遞減，在上遞增，所以在處取得極小值，

當時，，所以無極值，

當時，在上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值.

（2）設，即，

.

①若，則當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，至多有兩個零點.

②若，則，（僅）.單調遞增，至多有一個零點.

③若，則，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減，要使有三個零點，必須有成立.

由，得，這與矛盾，所以不可能有三個零點.

④若，則.當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減，要使有三個零點，必須有成立，

由，得，由及，得，

.

并且，當時，，，

，.

綜上，使有三個零點的的取值范圍為.