Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，橢圓上動點到點的最遠距離和最近距離分別為和.

（1）求橢圓的方程；

（2）設分別為橢圓的左、右頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于、兩點，若，為坐標原點，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據橢圓上動點到點的最遠距離和最近距離求得的值，由此求得的值，結合求得的值，進而求得橢圓方程.

（2）解法一：設出直線的方程，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，結合求得的值，然后根據三角形的面積公式求得三角形的面積.解法二：主要步驟和解法一相同，不同點在于采用代數式恒等變換求得的值，其它步驟與解法一相同..

（1）設，由已知，.∴.∴.則橢圓的方程為.

（2）解法1：設.與橢圓聯立得.化簡得.設，由韋達定理，有.又，.

.

∴.則.聯立得.

則.即.

∴.

∴.

解法2：設.，

與橢圓聯立得.化簡得.

其兩個分別為，∴.①

又..

∵.化簡得到.②

在①中，令，得.③

令，.∴，.④

將③、④代入②得.解得.

則.即.

∴.

∴.