Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）探究：是否存在實數，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）的單調減區間為，單調增區間為;（2）.

【解析】【試題分析】（1）求導后令導數為零，求出極值點并寫出單調區間.（2）由（1）知函數的最小值為，構造函數，利用導數可求得的最大值為零，故，當且僅當時取等號，又，從而得到.

【試題解析】

（1）依題意， ，令，解得，故，

故當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增；

故函數的單調減區間為，單調增區間為

（2），其中，

由題意知在上恒成立， ，

由（1）可知，∴ ，

∴，記，則，令，得.

當變化時， ， 的變化情況列表如下：

∴，故，當且僅當時取等號，

又，從而得到.