Question

【題目】某省2016年高中數學學業水平測試的原始成績采用百分制，發布成績使用等級制.各等制劃分標準為：85分及以上，記為等；分數在內，記為等；分數在內，記為等；60分以下，記為等.同時認定為合格， 為不合格.已知甲，乙兩所學校學生的原始成績均分布在內，為了比較兩校學生的成績，分別抽取50名學生的原始成績作為樣本進行統計，按照的分組作出甲校的樣本頻率分布直方圖如圖1所示，乙校的樣本中等級為的所有數據莖葉圖如圖2所示.

（Ⅰ）求圖1中的值，并根據樣本數據比較甲乙兩校的合格率；

（Ⅱ）在選取的樣本中，從甲，乙兩校等級的學生中隨機抽取3名學生進行調研，用表示所抽取的3名學生中甲校的學生人數，求隨機變量的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】(1)；甲、乙兩校的合格率均為96%;（2）詳見解析.

【解析】試題分析：（1）頻率分布直方圖中，小矩形的和為頻率和，和為1，這樣可得到的值；合格率為大于等于60分的頻率和;（2）為級，甲校C級的頻率為，人數為，而乙校C級的人數為4人，隨機抽取3人中，甲校學生人數的可能取值為0，1，2，3，所對應的概率，列分布列并求數學期望.

試題解析：（1）由題意，可知，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴甲學校的合格率為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

而乙學校的合格率為．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴甲、乙兩校的合格率均為96%．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（2）樣本中甲校等級的學生人數為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

而乙校等級的學生人數為4．

∴隨機抽取3人中，甲校學生人數的可能取值為0，1，2，3．．．．．．．．．．．7分

∴，

∴的分布列為

	0	1	2	3

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

數學期望．．．．．．．．．．．．．．．．．12分